Question

給出封閉函數(shù)的定義：若對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)自變量x都有函數(shù)值f（x₀）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．若定義域D=（0，1），則下列函數(shù)為封閉函數(shù)的是（　　）
①f₁（x）=4x-1  ②f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1  ③f₃（x）=x+

1

x

  ④f₄（x）=x

1

2

．

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：根據(jù)封閉函數(shù)的定義，當(dāng)定義域D=（0，1）時(shí)，對(duì)①②③④逐個(gè)分析即可得答案．

解答：解：當(dāng)定義域D=（0，1）時(shí)，顯然①f₁（x）=4x-1∉D，不是封閉函數(shù)；
對(duì)于②，f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

9

8

，
∵0＜x＜1，
∴f₂（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
∴f₂（x₀）∈（0，1]=D，即②是封閉函數(shù)；
對(duì)于③，當(dāng)定義域D=（0，1）時(shí)，f₃（x）=x+

1

x

∈（2，+∞），顯然不是封閉函數(shù)；
對(duì)于④，當(dāng)定義域D=（0，1）時(shí)，f₄（x）=x

1

2

∈（0，1）=D，即④是封閉函數(shù)；
綜上所述，②④是封閉函數(shù)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、雙鉤函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．