Question

已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如圖），而A'、B'、C'、D'分別把AB、BC、CD、DA分為m：n，設AB=1．
（1）求A'B'C'D'的面積；
（2）求證A'B'C'D'的面積不小于

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由題意設AA'=mt，A'B=nt，通過mt+nt=1，∴t=

1

m+n

．推出A'B'C'D'的面積的表達式；
（2）利用配方把（1）的面積轉化為

m2+n2

(m+n)2

-

1

2

=

(m-n)2

2(m+n)2

≥0，從而證明A'B'C'D'的面積不小于

1

2

．

解答：解（1）：設AA'=mt，A'B=nt
又mt+nt=1，∴t=

1

m+n

．
在直角△D'AA'中，
D'A'²=D'A²+AA'²=m²t²+n²t²
=（m²+n²）t²
而正方形A'B'C'D'的面積=D′A′2=(m2+n2)t2=

m2+n2

(m+n)2

．
（2）證明：∵

m2+n2

(m+n)2

-

1

2

=

2(m2+n2)-(m+n)2

2(m+n)2

=

(m-n)2

2(m+n)2

≥0
∴

m2+n2

(m+n)2

≥

1

2

．

點評：本題是基礎題，考查平面幾何的知識點，正方形的面積的求法，作差法證明A'B'C'D'的面積不小于

1

2

．是本題的難點，注意把握．