Question

已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點,若A是PB的中點,求直線m的斜率.

Answer 1

(1) +=1   (2) -或

解析解:(1)設M到直線l的距離為d,

根據題意,d=2|MN|.
由此得|4-x|=2,
化簡得+="1,"
所以,動點M的軌跡方程為+=1.
(2)法一　由題意,設直線m的方程為y=kx+3,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
將y=kx+3代入+=1中,
有(3+4k²)x²+24kx+24=0,
其中,Δ=(24k)²-4×24(3+4k²)=96(2k²-3)>0,

由求根公式得,
x₁+x₂=-,       ①
x₁x₂=.        ②
又因A是PB的中點,
故x₂=2x₁,③
將③代入①,②,得
x₁=-,
=,
可得=,
且k²>,
解得k=-或k=,
所以,直線m的斜率為-或.
法二　由題意,設直線m的方程為y=kx+3,
A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
∵A是PB的中點,
∴x₁=,①
y₁=.②
又+=1,③
+=1.④
聯立①,②,③,④解得或
即點B的坐標為(2,0)或(-2,0),
所以,直線m的斜率為-或.