Question

【題目】已知一動點(diǎn)， 到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是．

（）求動點(diǎn)的軌跡方程．

（）設(shè)動點(diǎn)的軌跡為，已知定點(diǎn)、，直線、與軌跡的另一個交點(diǎn)分別為、．

（i）點(diǎn)能否為線段的中點(diǎn)，若能，求出直線的方程，若不能，說明理由．

（ii）求證：直線過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(1) (2)①②見解析

【解析】試題分析：（1）由題意易得： ，坐標(biāo)化易得動點(diǎn)的軌跡方程；（2）（i）設(shè)， ， ，假設(shè)能為中點(diǎn)，則，利用點(diǎn)在拋物線上可得， 方程： ，∵與有兩個交點(diǎn)，易得， ，從而得到直線的方程；（ii）設(shè)，由： 得到，同理可得： ，∴，從而得到直線過定點(diǎn)．

試題解析：

（）， ，

， ，

∴．

（）

（i）設(shè)， ， ，

假設(shè)能為中點(diǎn)，則，

， 在軌跡方程上，則：

，

， ，

，

，

方程： ，即，

， 或，

∵與有兩個交點(diǎn)，

∴， ，

∴， ，

∴，即，

， ，

∴或，

∴， ，

∴，

∵，

∴．

（ii）設(shè)，

∴，

： ，

，

，

，

∴， ，

∴，

： ，

同理得： ，

，

∴，

，

整理可得： ，

∴， ， ， ， ，

∴， ，

恒過．