Question

【題目】已知函數， .

（1）設函數，求函數在區間上的值域；

（2）定義表示中較小者，設函數 .

①求函數的單調區間及最值；

②若關于的方程有兩個不同的實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.答案見解析；②. .

【解析】試題分析：（1）為上的單調增函數，故值域為.（2）計算得，由此得到的單調性和最值，而有兩個不同的根則可轉化為與的函數圖像有兩個不同的交點去考慮.

解析：（1）∵函數在區間上單調遞減，函數在區間上單調遞增，∴函數在區間上單調遞增，故，即，所以函數在區間上的值域為.

（2）當時，有，故；當時， ，故，故，由（1）知： 在區間上單調遞增， 在區間上單調遞減，故，∴函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為. 有最大值4，無最小值.

②∵在上單調遞減，∴.又在上單調遞增，∴.∴要使方程有兩個不同的實根，則需滿足.即的取值范圍是.