Question

在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的對應邊，則
①若a＞b，則f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函數；
②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，則△ABC是Rt△；
③cosC+sinC的最小值為-

2

；
④若cos2A=cos2B，則A=B；
⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，則A+B=

3

4

π，
其中錯誤命題的序號是

③⑤

．

Answer 1

分析：①由正弦定理，可知命題正確；②由余弦定理可得acosB+bcosA=a

a2+c2-b2

2ac

+b

b2+c2-a2

2bc

=c，可得a²=b²+c²；③由三角函數的公式可得sinc+cosc=

2

sin(c+

π

4

)，由的范圍可得

2

sin(c+

π

4

)∈（1，

2

]；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π-2B，A=π-B，A+B=π（舍）；⑤展開變形可得

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=1，即tan（A+B）=1，進而可得A+B=

π

4

解答：解：①由正弦定理，a＞b等價于sinA＞sinB，∴sinA-sinB＞0，∴f（x）=（sinA-sinB）x在R上是增函數，故正確；
②由余弦定理可得acosB+bcosA=a

a2+c2-b2

2ac

+b

b2+c2-a2

2bc

=c，故可得a²-b²=c²，即a²=b²+c²，故△ABC是Rt△，故正確；
③由三角函數的公式可得sinc+cosc=

2

sin(c+

π

4

)，∵0＜c＜π，∴

π

4

＜

π

4

+c＜

5π

4

，∴sin(c+

π

4

)∈（-

2

2

，1]，
∴

2

sin(c+

π

4

)∈（-1，

2

]，故取不到最小值為-

2

，故錯誤；
④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π-2B，A=π-B，A+B=π（舍），∴A=B，故正確；
⑤展開可得1+tanA+tanB+tanA•tanB=2，1-tanA•tanB=tanA+tanB，
∴

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=

π

4

，故錯誤；
∴錯誤命題是③⑤．
故答案為③⑤

點評：本題考查命題真假的判斷與應用，涉及三角函數的知識，屬基礎題．