Question

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和
直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF∥BD，
ED⊥BD，AD=

2

，EF=ED=1，點P為線段
EF上任意一點．
（Ⅰ）求證：CF⊥AP；
（Ⅱ）求二面角B-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意平面BDEF⊥平面ABCD，ED⊥BD，得ED⊥平面ABCD，在利用所給的邊長關系得到線線垂直，進而得到線面垂直，再有線面垂直得出線線垂直即可；
（II）由題意及所給圖形利用（I）的證明過程及二面角的概念可以找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出．

解答：解：（Ⅰ）∵平面BDEF⊥平面ABCD，ED⊥BD，
∴ED⊥平面ABCD
連接AC交BD于點O，連接FO，
∵正方形ABCD的邊長為

2

，∴AC=BD=2；
在直角梯形BDEF中，∵EF=ED=1，
O為BD中點，∴FO∥ED，且FO=1；
易求得AF=CF=

2

，AE=CE=

3

，
由勾股定理知CF⊥EF，AF⊥EF
由AF=CF=

2

，AC=2可知CF⊥AF．EF∩AF=F，∴CF⊥平面AEF
∵點P為線段EF上任意一點，∴AP?平面AEF∴CF⊥AP
（Ⅱ）取AF中點M，AE中點N，連接BM、MN、BN，
∵AB=AF=BF=

2

，∴BM⊥AF，又MN∥EF，AF⊥EF∴MN⊥AF
∴∠BMN是二面角B-AF-E的平面角．
易求得BM=

3

2

AB=

6

2

，MN=

1

2

EF=

1

2

，設AD中點為Q，則NQ∥ED，
NQ⊥BQ，可求得BN²=NQ²+BQ²=

11

4

，
在△BMN中，由余弦定理求得，cos∠BMN=-

6

3

二面角B-AF-E的余弦值為-

6

3

點評：（I）此問重點考查了利用面面垂直得到線面垂直，在有線線垂直得到線面垂直，有線面垂直得出線線垂直．這三者的相互轉化；
（II）此問重點考查了二面角的平面角的概念及利用定義求其二面角的方法，還考查了利用余弦定理解三角形．