Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：y=﹣t²+8t（其中0≦t≦2．t為常數）；l₂：x=2．若直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象以及l₁，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16
則，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=﹣x²+8x
（Ⅱ）由得x²﹣8x﹣t（t﹣8）=0，
∴x₁=t，x₂=8﹣t，∵0≦t≦2，
∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（t，﹣t²+8t）由定積分的幾何意義知：

=
=
（Ⅲ）令H（x）=g（x）﹣f（x）=x²﹣8x+6lnx+m
因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則
函數H（x）=x²﹣8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點
∴
∴x=1或x=3時，H'（x）=0
當x∈（0，1）時，H'（x）＞0，H（x）是增函數,
當x∈（1，3）時，H'（x）＜0，H（x）是減函數
當x∈（3，+∞）時，H'（x）＞0，H（x）是增函數
∴H（x）極大值為H（1）=m﹣7；H（x）極小值為
H（3）=m+6ln3﹣15
又因為當x→0時，H（x）→﹣∞；
當x→+∞時，H（x）→+∞
所以要使Η（x）=0有且僅有兩個不同的正根
，必須且只須
即，
∴m=7或m=15﹣6ln3．
∴當m=7或m=15﹣6ln3．時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點