Question

函數y=

-x2+4x-3 +3

x+1

的值域為

[

9- 17

8

，

9+ 17

8

]

．

Answer 1

分析：先根據條件求出x的范圍，再令x-2=cosθ，利用三角換元法結合三角函數的值域即可求出結論．

解答：解：∵-x²+4x-3=-（x-2）²+1≥0⇒1≤x≤3．
令x-2=cosθ   且θ∈[0，π]
∴y=

-x2+4x-3 +3

x+1

=

sinθ+3

cosθ+3

⇒ycosθ+3y=sinθ+3⇒sinθ-ycosθ=3y-3⇒

1+y2

sin（θ-φ）=3y-3
⇒sin（θ-φ）=

3y-3

1+y2

⇒|

3y-3

1+y2

|≤1⇒

9- 17

8

≤y≤

9+ 17

8

．
故答案為：[

9- 17

8

，

9+ 17

8

]．

點評：本題主要考查三角換元法求函數的值域問題．解決本題的關鍵點在于令x-2=cosθ，利用換元法解題．