Question

在一個不透明的盒子中，放有標號分別為1，2，3的三個大小相同的小球，現從這個盒子中，有放回地先后取得兩個小球，其標號分別為x、y，記ξ=|x-2|+|x-y|．
（1）求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意得到x、y可能的取值為1、2、3，根據x和y的值得到∴|x-2|和|y-x|的范圍，從而得到隨機變量ξ的最大值，求出最大值的概率．
（2）ξ的所有取值為0，1，2，3．ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，ξ=2時，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況，ξ=3時，有x=3，y=1或x=1，y=3兩種情況，而變量取1時，用其他幾個變量的概率求得．

解答：解：（1）∵x、y可能的取值為1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2
∴ξ≤3，且當x=3，y=1或x=1，y=3時，ξ=3
因此隨機變量ξ的最大值為3．
∵有放回地抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，
∴P(ξ=3)=

2

9

∴隨機變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為

2

9

．

（2）ξ的所有取值為0，1，2，3．
∵ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，
ξ=2時，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況，
ξ=3時，有x=3，y=1或x=1，y=3兩種情況，
∴P(ξ=0)=

1

9

，P(ξ=2)=

2

9

，P(ξ=3)=

2

9

，P(ξ=1)=1-

1

9

-

2

9

-

2

9

=

4

9

則隨機變量ξ的分布列為：

∴數學期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．

點評：本題應用分類討論思想對于題目中出現的變量進行討論，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．