Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，，分別為橢圓的右下頂點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，滿(mǎn)足直線(xiàn)，的斜率乘積為，且直線(xiàn)，分別交橢圓于點(diǎn)，.

①若，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)的斜率；

②若和的面積分別為，求.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①，②.

【解析】

（1）由知，，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以將點(diǎn)代入橢圓方程求解即可. （2）①設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立可求出M點(diǎn)坐標(biāo)；又直線(xiàn)，的斜率乘積為，可知直線(xiàn)的方程，從而可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，利用，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，列出等式，從而解出的值. （2）②利用三角形面積公式，將轉(zhuǎn)化為，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算可求出結(jié)果.

（1）由知，，

又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，

解得 所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為.

聯(lián)立

消去并整理得，，

解得，，所以.

因?yàn)橹本�(xiàn)，的斜率乘積為，所以直線(xiàn)的方程.

聯(lián)立 消去并整理得，，

解得，，所以.

①因?yàn)?/span>，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，

即，解得

.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在橢圓外，不滿(mǎn)足題意.

所以直線(xiàn)的斜率為.

②聯(lián)立 解得.

所以

.