Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在定義域上是單調增函數，求實數a的取值范圍；

（2）討論的極值點的個數；

（3）若有兩個極值點，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的極值點的個數為0；當時，的極值點的個數為2；（3）

【解析】

（1）求出導函數，題意說明在上恒成立，可用分離參數法轉化為求函數最值（可用基本不等式求最值）．

（2）由，對分類討論，在（1）的基礎上，時無極值點，在時，求出的兩根，可列表得出的正負，得的單調性，從而得極值點．

（3）由（2）知，，求出，注意代換后可轉化為的代數式，令，首先有，變為的函數，由求出的取值范圍后可得的取值范圍．

解：（1）定義域為，由題意得

因為函數在定義域上是單調增函數，所以在上恒成立

因為，所以，所以在上恒成立

因為，當且僅當時取等號，

所以，即，所以，實數a的取值范圍為

（2），

①時，由第（1）問可知，函數在定義域上是單調增函數；

所以無極值點，即的極值點的個數為0

②時，令，得：，

當時，，故

列表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

當時，有極大值，當時，有極小值

所以，的極值點的個數為2

綜上所述，當時，的極值點的個數為0；當時，的極值點的個數為2

（3）由題意知，，

因為是函數的兩個極值點，所以是方程的兩個不等實根

所以，

所以

令，記

由可得：，所以，

又，所以，所以，即，

因為，解得：

又，所以在上單調減

所以

所以的最小值為