Question

已知各項為正數的數列中，，對任意的，成等比數列，公比為；成等差數列，公差為，且．
（1）求的值；
（2）設，證明：數列為等差數列；
（3）求數列的前項和．

Answer 1

（1）2；（2）或；（3）時，，時，.

試題分析：（1）求數列的，相對較容易，由題意可得成等比數列，而，可求得；（2）要證明是等差數列，實質上就是求，求出的遞推關系，從而推導出的遞推關系，由題意，，而，這樣就有，于是關于的遞推關系就有了：，把它變形或用代入就可得到結論；（3）由（2）我們求出了，下面為了求，我們要把數列從前到后建立一個關系，分析已知，發現，這樣就由而求出，于是，，得到數列的通項公式后，其前項和也就可求得了.
試題解析：（1）由題意得
，，或.       2分
∵，∴．                4分
（2）∵成公比為的等比數列，
成公比為的等比數列
∴，
又∵成等差數列，
∴.
得，，       6分
，
∴，，即.
∴數列數列為公差等差數列，   10分
（3）由（1）數列的前幾項為，，
由（2），.
，，
，
.      16分