Question

【題目】斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1C1C⊥面ABC，側面AA1C1C為菱形，∠A1AC=60°，E，F分別為A1C1和AB的中點．

（1）求證：平面CEF⊥平面ABC；
（2）若三棱柱的所有棱長為2，求三棱柱F﹣ECB的體積；
（3）D為棱BC上一點，若C1D∥EF，請確定點D位置，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

又因為側面AA1C1C⊥面ABC，所以EC⊥CF，所以EC⊥平面ABC，
又EC在平面CEF內，所以平面CEF⊥平面ABC；

（2）解：∵CE⊥面ABC，∴CE為三棱錐E﹣BCF的高，

在Rt△CC1E中，可得 ，

又∵ ，

∴

（3）解：D為棱BC中點點，

∵C1D∥EF，∴C1，D，E，F共面，

．

【解析】（1）根據如果一個平面經過另一平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直；（2）三菱錐的體積為底面三角形的面積與其上高的乘積，所以確定三棱錐的高是求其體積的關鍵；（3）最終利用三角形中位線定理確定點D為線段BC的中點.
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．