Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）解不等式f（x）＜ ；
（2）求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：將f（x）的解析式代入不等式得：

＜ ，

整理得：34x﹣3＜4x+1，即4x=22x＜2=21，

∴2x＜1，

解得：x＜ ，

則不等式的解集為{x|x＜ }

（2）解：法一：f（x）= =1+ ，

∵4x＞0，∴4x+1＞1，

∴﹣2＜ ＜0，

∴﹣1＜1+ ＜1，

則f（x）的值域為（﹣1，1）；

法二：∵y=f（x）= ，

∴4x= ＞0，即 ＜0，

可化為： 或 ，

解得：﹣1＜y＜1，

則f（x）的值域為（﹣1，1）

【解析】（1）把f（x）的解析式代入不等式，整理后得到關(guān)于4x的不等式，把不等式左右兩邊化為底數(shù)為2的冪形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集；（2）法一：把函數(shù)解析式整理為f（x）=1+ ，由4x大于0，得到4x+1的范圍，可得到 的范圍，進而確定出1+ 的范圍，即為函數(shù)f（x）的值域；
法二：設(shè)y=f（x），從函數(shù)解析式中分離出4x ， 根據(jù)4x大于0列出關(guān)于y的不等式，變形后得到y(tǒng)+1與y﹣1異號，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次不等式，求出不等式的解集，即為函數(shù)的值域．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．