Question

若不等式5-x＞7|x+1|與不等式ax²+bx-2＞0同解，而|x-a|+|x-b|≤k的解集為空集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：先將“不等式5-x＞7|x+1|”轉化為

x≥-1 5-x＞7(x+1)

和

x＜-1 5-x＞-7(x+1)

兩種情況求解，最后取并集，再由“與不等式ax²+bx-2＞0同解”，利用韋達定理求得a，b，最后由“|x-a|+|x-b|≤k的解集為空集”求得“|x-a|+|x-b|”最小值即可．

解答：解：

x≥-1 5-x＞7(x+1)

得-1≤x＜-

1

4

或

x＜-1 5-x＞-7(x+1)

得-2＜x＜-1 （3分）
綜上不等式的解集為{x|-2＜x＜-

1

4

 }，
又由已知與不等式ax²+bx-2＞0同解，
所以

- a b =- 9 4 - 2 a = 1 2 a＜0

解得

a=-4 b=-9

（7分）
則|x-a|+|x-b|≥|x-a-x+b|=|b-a|=5，
所以當|x-a|+|x-b|≤k的解為空集時，k＜5． （10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，一元二次不等式的解集與相應方程根的關系，以及不等式恒成立問題．