Question

已知函數f（x）=log_a（a-ka^x）（其中a＞1，k＞0），且函數f（x）的定義域是集合{x|x≤1}的子集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）=log_a（a-ka^x）（其中a＞1，k＞0），結合對數函數真數必須為正的原則，我們可以計算出函數f（x）的定義域，進而根據函數f（x）的定義域是集合{x|x≤1}的子集，構造關于k的不等式，求出滿足條件的實數k的取值范圍．

解答：解：要使函數f（x）=log_a（a-ka^x）的解析式有意義
自變量x須滿足，a-ka^x＞0
∵k＞0
∴a^x＜

a

k

∵a＞1，
∴x＜log_a

a

k

=1-log_ak
∴函數f（x）的定義域為（-∞，1-log_ak）
又∵函數f（x）的定義域是集合{x|x≤1}的子集，
∴1-log_ak≤1
即log_ak≥0=log_a1
解得k≥1
故滿足條件的實數k的取值范圍為[1，+∞）

點評：本題考查的知識點是對數函數的定義域，集合關系中的參數取值問題，其中根據對數函數真數必須為正的原則，求出函數f（x）的定義域，是解答本題的關鍵．解答過程中易在將函數f（x）的定義域（-∞，1-log_ak）是集合{x|x≤1}的子集，錯誤的轉化為1-log_ak＜1，而錯解為（1，+∞）