Question

【題目】已知數列的奇數項是首項為的等差數列，偶數項是首項為的等比數列．數列前項和為，且滿足，．

（1）求數列的通項公式；

（2）若，求正整數的值；

（3）是否存在正整數，使得恰好為數列中的一項？若存在，求出所有滿足條件的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）設數列的奇數項構成的等差數列的公差為，偶數項構成的等比數列的公比為，由題意列式求出公差和公比，則等差數列和等比數列的通項公式即可得出；，進而可求得數列的通項公式；

（2）分和，利用即可求出滿足該等式的正整數的值；

（3）求出和，假設存在正整數，使得恰好為數列中的一項，設，變形得到，由此式得到的可能取值，然后依次分類討論求解．

（1）設數列的奇數項構成的等差數列的公差為，偶數項構成的等比數列的公比為，

則，，，，，

，，即，

又，即，

所以，，解得，

對于，有，.

故；

（2）若，則由，得，得，得，；

若，由，得，

此時左邊為偶數，右邊為奇數，不成立．

故滿足條件的整數；

（3）對于，有．

．

假設存在正整數，使得恰好為數列中的一項，

又由（1）知，數列中的每一項都為整數，故可設，

則，變形得到①，

，，，．

又，故可能取、、.

當時，，，①不成立；

當時，則.

若，.

令，則.

，則，則.

因此，，

故只有，此時，．

當時，，，.

綜上，存在正整數，使得恰好為數列中的第三項；

存在正整數，使得恰好為數列中的第二項．