Question

【題目】已知函數相鄰兩對稱軸間的距離為，若將的圖像先向左平移個單位，再向下平移1個單位，所得的函數為奇函數.

（1）求的解析式，并求的對稱中心；

（2）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），對稱中心為：，（2）或.

【解析】試題分析：（1）相鄰兩對稱軸間的距離為半周期,由,可得，按三角函數的平移變換,得表達式,函數為奇函數,得值,且過點得值,求出表達式后由性質可得對稱中心；（2）由得的范圍,將利用換元法換元,將問題轉化為一個一元二次方程根的分布問題,利用判別式得不等式解得取值范圍.

試題解析：

（1）由條件得：，即,則，

又為奇函數，令，，，，

由，得對稱中心為：

（2）,又有（1）知：，則， 的函數值從0遞增到1，又從1遞減回0.令則由原命題得：在上僅有一個實根.

令，

則需或，

解得：或.