Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若，試討論關(guān)于的方程的解的個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)無極值，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值；

（2）方程有唯一解.

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)定義域，求導(dǎo)，令.利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求

出函數(shù)的極值；（2）令，對其求導(dǎo)，分為和兩種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)其大致圖象得到其與軸的交點(diǎn)分?jǐn)?shù)，故而得到方程解的個數(shù).

試題解析：（1）依題意得，，，

當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時，，

令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，

令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，

故函數(shù)有極小值.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極值；當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值.

（2）令，，問題等價于求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

易得.

①若，則，函數(shù)為減函數(shù)，

注意到，，所以有唯一零點(diǎn)；

②若，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

注意到，，所以有唯一零點(diǎn).

綜上，若，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即方程有唯一解.