Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成，兩相接點M、N均在直線x＝5上．圓弧C₁的圓心是坐標原點O，半徑為r₁＝13；圓弧C₂過點A(29，0)．

(1)求圓弧C₂所在圓的方程；
(2)曲線C上是否存在點P，滿足PA＝PO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；
(3)已知直線l：x－my－14＝0與曲線C交于E、F兩點，當EF＝33時，求坐標原點O到直線l的距離．

Answer 1

（1）x²＋y²－28x－29＝0.（2）P不存在（3）

(1)由題意得，圓弧C₁所在圓的方程為x²＋y²＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C₂過點A(29，0)，設圓弧C₂所在圓方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，
則，解得
所以圓弧C₂所在圓的方程為x²＋y²－28x－29＝0.
(2)假設存在這樣的點P(x，y)，則由PA＝PO，得(x－29)²＋y²＝30(x²＋y²)，即x²＋y²＋2x－29＝0.由
解得x＝－70(舍去)；
由解得x＝0(舍去)．所以這樣的點P不存在．
(3)因為圓弧C₁、C₂所在圓的半徑分別為r₁＝13，r₂＝15，因為EF>2r₁，EF>2r₂，所以E、F兩點分別在兩個圓弧上．設點O到直線l的距離為d，因為直線l恒過圓弧C₂所在圓的圓心(14，0)，所以EF＝15＋，
即＝18，解得d²＝，所以點O到直線l的距離為.