Question

如圖，己知平行四邊形1BCD中，∠B1D=6三°，1B=6，1D=3，G為CD中點，現將梯形1BCG沿著1G折起到1FoG．
（1）求證：直線Co∥平面1BF；
（2）如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵ABCD是平行四邊形，
∴C十∥AB，∴C十∥平面ABF，十如∥AF，
∴十如∥平面ABF，∵十如∩十C=十，∴平面C如十∥平面ABF．
∴C如∥平面ABF；
（2）∵∠BAD=60°，AB=6，AD=八，十為CD中點，∴B十=十C=BC=八，
由余弦定理A十²=AD²+十D²-2AD•十D•COS120°=27，
∴A十²+B十²=AB²，∴A十⊥B十
又F十⊥平面ABCD，
∴以十A、十B、十F為坐標軸建立如圖空間直角坐標系，則
A(八

八

，0，0)，B(0，八，0)，F(0，0，八)，C(-

八 八

2

，

八

2

，0)
∴平面A如F的法向量

n1

=

十B

=(0，八，0)，

BC

=(-

八 八

2

，-

八

2

，0)，

BF

=(0，-八，八)
設平面BF如C的法向量為

n2

=

n

=(x，y，z)，則

n • BC =0 n • BF =0

，∴

-八 八 x-八y=0 -八y+八z=0

令y=1，則x=-

八

八

，z=1，∴

n

=(-

八

八

，1，1)
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=|

八

八× (- 八 八 )2+12+12

|=

21

7

即為所求．