Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer 1

（1）證明：在△ABC中，由正弦定理可求得sin∠ACB=

1

2

⇒∠ACB=

π

6

∴AB⊥AC
以A為原點，分別以AB、AC、AA₁為
x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖
則A（0，0，0）A1(0，0，2

3

)B（2，0，0）C(0，2

3

，0)

AB

=(2，0，0)

A1C

=(0，2

3

，-2

3

)

AB

•

A1C

=0⇒

AB

⊥

A1C

即AB⊥A₁C．
（2）由（1）知

A1B

=(2，0，-2

3

)
設二面角A-A₁C-B的平面角為α，cosα=cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2 3

2× 5

=

15

5

∴sinα=

1-cos2α

=

10

5