Question

設f(x)是定義在［0,1］上的函數,若存在x^*∈(0,1),使得f(x)在［0,x^*］上單調遞增,在［x^*,1］上單調遞減,則稱f(x)為［0,1］上的單峰函數,x^*為峰點,包含峰點的區間為含峰區間.

    對任意的［0,1］上的單峰函數f(x),下面研究縮短其含峰區間長度的方法.

(1)證明對任意的x₁、x₂∈(0,1),x₁＜x₂,若f(x₁)≥f(x₂),則(0,x₂)為含峰區間;若f(x₁)≤f(x₂),則(x₁,1)為含峰區間;

(2)對給定的r(0＜r＜0.5),證明存在x₁、x₂∈(0,1),滿足x₂-x₁≥2r,使得由(1)所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r;

(3)選取x₁、x₂∈(0,1),x₁＜x₂,由(1)可確定含峰區間為(0,x₂)或(x₁,1),在所得的含峰區間內選取x₃,由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定一個新的含峰區間.在第一次確定的含峰區間為(0,x₂)的情況下,試確定x₁、x₂、x₃的值,滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02,且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34.

(區間長度等于區間的右端點與左端點之差)

Answer 1

(1)證明：設x^*為f(x)的峰點,則由單峰函數定義可知,f(x)在［0,x^*］上單調遞增,在［x^*,1］上單調遞減.

    當f(x₁)≥f(x₂)時,假設x^*(0,x₂),則x₁＜x₂≤x^*,從而f(x^*)≥f(x₂)＞f(x₁),

    這與f(x₁)≥f(x₂)矛盾,所以x^*∈(0,x₂),即(0,x₂)是含峰區間;

    當f(x₁)≤f(x₂)時,假設x^*(x₁,1),則x^*≤x₁＜x₂,從而f(x^*)≥f(x₁)＞f(x₂),

    這與f(x₁)≤f(x₂)矛盾,所以x^*∈(x₁,1),即(x₁,1)是含峰區間.

 (2)證明：由(1)的結論可知:

    當f(x₁)≥f(x₂)時,含峰區間的長度為l₁=x₂;

    當f(x₁)≤f(x₂)時,含峰區間的長度為l₂=1-x₁.

    對于上述兩種情況,由題意得

                                                                           ①

    由①得1+x₂-x₁≤1+2r,即x₂-x₁≤2r.

    又因為x₂-x₁≥2r,所以x₂-x₁=2r.                                                    ②

    將②代入①得

x₁≤0.5-r,x₂≥0.5+r.                                                                       ③

    由①和③解得x₁=0.5-r,x₂=0.5+r.

    所以這時含峰區間的長度l₁=l₂=0.5+r,即存在x₁、x₂使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r.

(3)解：對先選擇的x₁、x₂,x₁＜x₂,由(2)可知x₁+x₂=1.                          ④

    在第一次確定的含峰區間為(0,x₂)的情況下,x₃的取值應滿足x₃+x₁=x₂.  ⑤

    由④⑤可得

    當x₁＞x₃時,含峰區間的長度為x₁.

    由條件x₁-x₃≥0.02得x₁-(1-2x₁)≥0.02,從而x₁≥0.34.

    因此,為了將含峰區間的長度縮短到0.34,只要取x₁=0.34,x₂=0.66,x₃=0.32即可.