Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC= BC=1，E是PC的中點(diǎn)，面PAC⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明：ED∥面PAB；
（Ⅱ）若PC=2，PA= ，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF． ∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF= ．
又AD=BC，且AD= ，∴AD∥EF且AD=EF，
則四邊形ADEF是平行四邊形．
∴DE∥AF，又DE面ABP，AF面ABP，
∴ED∥面PAB；
（Ⅱ）解：法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，
∴四邊形ADCM是平行四邊形，
∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．
∴AB⊥AC，可得 ．
過D作DG⊥AC于G，
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．
過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．
在△ADC中， ，連接AE， ．
在Rt△GDH中， ，
∴ ，
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 ．
法二、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．
∴四邊形ADCM是平行四邊形，
∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，
∴AB⊥AC．
∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．
如圖以A為原點(diǎn)， 方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
可得 ， ．
設(shè)P（x，0，z），（z＞0），依題意有 ， ，
解得 ．
則 ， ， ．
設(shè)面PDC的一個法向量為 ，
由 ，取x0=1，得 ．
為面PAC的一個法向量，且 ，
設(shè)二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，
則有 ，即二面角A﹣PCD的余弦值 ．


【解析】（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值． 法二、由題意證得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A為原點(diǎn)， 方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．求出P的坐標(biāo)，再求出平面PDC的一個法向量，由圖可得 為面PAC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．