Question

如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線的焦點．

(Ⅰ)試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上，直線l∶y＝kx＋t(k≠0，t≠0)與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：(Ⅰ)橢圓的離心率為　1分

　　拋物線的焦點為．　2分

　　設(shè)橢圓的方程為，

　　由題意，得：　，解得，

　　∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．　5分

　　(Ⅱ)解法一：橢圓與橢圓是相似橢圓．　6分

　　聯(lián)立橢圓和直線的方程，，消去，

　　得，　7分

　　設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則．　8分

　　設(shè)橢圓的方程為，　9分

　　聯(lián)立方程組，消去，得，

　　設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則．　10分

　　∵弦的中點與弦的中點重合，　11分

　　∴，，

　　∵，∴化簡得，　11分

　　求得橢圓的離心率，　12分

　　∴橢圓與橢圓是相似橢圓．

　　解法二：設(shè)橢圓的方程為，

　　并設(shè)．

　　∵在橢圓上，

　　∴且，兩式相減變恒等變形得．　7分

　　由在橢圓上，仿前述方法可得．　10分

　　∵弦的中點與弦的中點重合，

　　∴，　12分

　　求得橢圓的離心率，　10分

　　∴橢圓與橢圓是相似橢圓．