Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-c，0），點A（-a，0）和B（0，b）是橢圓的兩個頂點，如果F₁到直線AB的距離為

b

7

，則橢圓的離心率e=

1

2

．

Answer 1

分析：設F₁到AB的垂足為D，依題意可知，△ADF₁∽△AOB進而判斷出

AF1

AB

=

DF1

OB

，進而表示出左焦點F₁到直線AB的距離化簡整理求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．

解答：解：設F₁到AB的垂足為D，
∵∠F₁DA=∠BOA=90°，∠A為公共角
∴△ADF₁∽△AOB
∴

AF1

AB

=

DF1

OB

∴

a-c

a2+b2

=

b 7

b

=

7

7

；
∵b²=a²-c²
∴

(a-c)2

2a2-c2

=

1

7

化簡得到5a²-14ac+8c²=0
解得a=2c 或a=

4c

5

（舍去），
∴e=

c

a

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．解題的關鍵是利用左焦點F₁到直線AB的距離建立等式求得答案．