Question

1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

與2

n

的大小關系為

 

．（n∈N^*）

Answer 1

分析：將

1

n

變形為

2

2 n

，然后利用放縮變換構造

2

2 n

＜

2

n + n-1

，進而利用分母有理化及裂項相消法求解．

解答：解：∵

1

n

=

2

2 n

＜

2

n + n-1

=

2( n - n-1 )

( n + n-1 )( n - n-1 )

=2（

n

-

n-1

），
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2[（

1

-

0

）+(

2

-

1

)+(

3

-

2

)+…+（

n

-

n-1

）]=2

n

，
故答案為1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

點評：本題考查了不等式的有關知識，運用了放縮法、分母有理化及裂項相消法等數學方法，難度一般．