Question

當(dāng)n∈N，n≥2時(shí)，求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

(n∈N)．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先驗(yàn)證n=2時(shí)，不等式成立；再假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，然后利用放縮法證明n=k+1時(shí)，不等式成立．

解答：證明：①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+

1

2

=1+

2

2

＞1.7＞

2

=右邊，
∴當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，
即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左式=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

=

k(k+1) +1

k+1

＞

k•k +1

k+1

=

k+1

k+1

=

k+1

=右式，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
由①②知，對(duì)一切n∈N，且n≥2，不等式都成立．
故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

(n∈N)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證明過(guò)程中注意放縮法的靈活運(yùn)用．