Question

在數列{

a

n

}中，a₁=2，an+1=an+2n(n∈N*)，
（1）求{

a

n

}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式，結合累加法，可求{

a

n

}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，可求數列{na_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵an+1=an+2n(n∈N*)，
∴an+1-an=2n，
∵a₁=2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=2+2+4+…+2^n-1=2ⁿ；
（2）∵na_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②：-S_n=1•2+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2•

1-2n

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2（2ⁿ-1）-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=-2（2ⁿ-1）+n•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式，考查了累加法，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．