Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的定義域為，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若對任意，總有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析 ：（1）函數(shù)的定義域為，即在上恒成立，分和討論即可.

（2）由題對任意，總有，等價于在上恒成立，設(shè)，則， （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.分當(dāng)時和當(dāng)時討論可得的取值范圍是.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，即在上恒成立，

當(dāng)時， 恒成立，符合題意；

當(dāng)時，必有

綜上， 的取值范圍是.

（2）∵

∴

對任意，總有，

等價于在上恒成立，

在上恒成立，（*）

設(shè)，則， （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.

（*）在上恒成立，（**）

當(dāng)時，（**）顯然成立，

當(dāng)時， 在上恒成立，

令， ，只需.

∵ 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴

令， ，只需

而， 且，∴，故.

綜上， 的取值范圍是.