Question

【題目】如圖，設點，直線，點在直線上移動，是線段與軸的交點，，.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）直線過點，與軌跡交于兩點，過點的直線與直線交于點，求證：軸.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）先設，由題中條件得到，根據，得到，進而可得出結果；

（2）先由題意設，得到直線的方程為，進而求出；再由點坐標，得到直線的方程為，聯立拋物線方程，結合韋達定理，求出點縱坐標，進而可證明結論成立.

（1）由題中條件，設，，

且，

又與軸交于，故，

，，

故軌跡的方程為.

（2）設點為直線與軌跡的交點，由（1）設，

則直線的方程為，

故直線與的交點為，

又，直線的方程為，

即，

聯立拋物線，得：，

由韋達定理，兩點縱坐標乘積為，

故點縱坐標為，與點縱坐標相同，

又，軸.