Question

【題目】已知橢圓C：，直線l：y＝kx+b與橢圓C相交于A、B兩點．

（1）如果k+b＝﹣，求動直線l所過的定點；

（2）記橢圓C的上頂點為D，如果∠ADB＝，證明動直線l過定點P（0，﹣）；

（3）如果b＝﹣，點B關于y軸的對稱點為B，向直線AB是過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）定點（1，﹣）；（2）見解析；（3）定點（0，﹣2）．

【解析】

（1）把b＝﹣k﹣代入直線方程可得定點坐標；

（2）根據∠ADB＝，可得,結合韋達定理可得關系；

（3）結合對稱性求出直線AB的方程，結合韋達定理，從而可得定點坐標.

（1）∵k+b＝﹣，∴b＝﹣k﹣，∴y＝kx﹣k﹣＝k（x﹣1）﹣，

所以動直線l過定點（1，﹣）．

（2）聯立消去y得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝﹣ ，

∵∠ADB＝，又D（0，1），

∴（x1，y1﹣1）（x2，y2﹣1）＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝x1x2+（kx1+b﹣1）（kx2+b﹣1）

＝x1x2+k2x1x2+（b﹣1）2+k（b﹣1）（x1+x2）

＝（1+k2）x1x2+k（b﹣1）（x1+x2）+（b﹣1）2

＝（1+k2）×+k（b﹣1）×+（b﹣1）2

＝（b﹣1），

∴（b﹣1）＝0，又b≠1（否則直線l過D），

∴b＝﹣，所以動直線l過定點（0，﹣）.

（3）b＝﹣，直線l為：y＝kx﹣，由（2）知x1+x2＝，

經過A（x1，y1），B′（﹣x2，y2）的直線方程為： ，

∴ ，

令x＝0得y﹣ ，

∴y＝kx1﹣ ，

所以直線AB′是過定點（0，﹣2）．