Question

直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為直線與曲線的公共點(diǎn). 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（Ⅰ）求點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）將曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）后得到曲線，過(guò)點(diǎn)作直線，若直線被曲線截得的線段長(zhǎng)為，求直線的極坐標(biāo)方程.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

解析試題分析：（Ⅰ）把曲線的參數(shù)方程化為的普通方程，將代入整理為關(guān)于的二次方程，解出，易得點(diǎn)的極坐標(biāo)；（Ⅱ）通過(guò)坐標(biāo)變換得出的普通方程，對(duì)直線的斜率分類(lèi)討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，求出直線的普通方程，易得直線的極坐標(biāo)方程.
試題解析：（Ⅰ）曲線的普通方程為，將代人上式整理得，解得.故點(diǎn)的坐標(biāo)為，其極坐標(biāo)為.   5分
（Ⅱ）依題知，坐標(biāo)變換式為，
故的方程為：，即.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，顯然成立.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，
則由已知，圓心到直線的距離為，故，
解得.此時(shí)，直線的方程為.
故直線的極坐標(biāo)方程為：或.        10分
考點(diǎn)：直線、圓、橢圓的普通方程與參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，直線的極坐標(biāo)方程.