Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=k有3個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），

令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

當(dāng)x=﹣1時(shí)，有極大值f（﹣1）=2；

當(dāng)x=1時(shí)，有極小值f（1）=﹣2．

（II）要f（x）=k有3個(gè)實(shí)根，

由（I）知：f（1）＜k＜f（﹣1），

即﹣2＜k＜2，

∴k的取值范圍是（﹣2，2）

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=f（x）和y=k有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)f（x）的極大值和極小值求出k的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．