Question

設x，y滿足約束條件

(1)求目標函數z=2x＋3y的最小值與最大值；

(2)求目標函數z=－4x＋3y－24的最小值與最大值．

Answer 1

答案：-18,38;-84,-12
解析：

(1)作出可行域(如圖陰影部分)． 解：令z=0，作直線l：2x＋3y=0． 仿前，當把直線l向下平移時，所對應的z=2x＋3y的函數值隨之減小，所以，直線經過可行域的頂點B時，z=2x＋3y取得最小值． 從圖中可以看出，頂點B是直線x=－3與直線y=－4的交點，其坐標為(－3，－4)； 當把l向上平移時，所對應的z=2x＋3y的函數值隨之增大，所以直線經過可行域的頂點D時，z=2x＋3y取得最大值． 頂點D是直線－4x＋3y=12與直線4x＋3y=36的交點，解方程組可以求得頂點D的坐標為(3，8)． 此時，頂點B(－3，－4)與頂點D(3，8)為最優解． 所以，． (2)可行域同(1)(如圖陰影部分)． 作直線，仿前，把直線向下平移時，所對應的的函數值隨之減小，即z=－4x＋3y－24的函數值隨之減小，從圖中可以看出，直線經過可行域頂點C時，取得最小值，即z=－4x＋3y－24取得最小值． 頂點C是直線4x＋3y=36與直線y=－4的交點，解方程組得到頂點C的坐標(12，－4)，代入目標函數z=－4x＋3y－24，得 ． 由于直線平行于直線－4x＋3y=12，因此當把直線向上平移到時，與可行域的交點不止一個，而是線段AD上的所有點．此時，．