Question

設x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

3

a

+

2

b

的最小值為（　　）

• A．4
• B．

  13

  25

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得到如圖的四邊形OABC及其內部，將目標函數z=ax+by對應的直線進行平移，可得當x=4且y=6時z的最大值為4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出

3

a

+

2

b

的最小值．

解答：解：作出不等式組

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

表示的平面區域，
得到如圖的四邊形OABC及其內部，其中
A（2，0），B（4，6），C（0，2），O為坐標原點
設z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），將直線l：z=ax+by進行平移，
觀察y軸上的截距變化，可得當l經過點B時，目標函數z達到最大值
∴z_最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．
因此，

3

a

+

2

b

=（

3

a

+

2

b

）×

1

12

（4a+6b）=2+

1

6

（

9b

a

+

4a

b

），
∵a＞0，b＞0，可得

9b

a

+

4a

b

≥2

9b a • 4a b

=12，
∴當且僅當

9b

a

=

4a

b

即2a=3b=3時，

9b

a

+

4a

b

的最小值為12，
相應地，

3

a

+

2

b

=2+

1

6

（

9b

a

+

4a

b

）有最小值為4．
故選：A

點評：本題給出二元一次不等式組，在已知目標函數z=ax+by的最大值的情況下求

3

a

+

2

b

的最小值，著重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題．