Question

已知A，B，C三點的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中

π

2

＜θ＜

3π

2

，且|

AC

|=|

BC

|．
（Ⅰ）求角θ的值；
（Ⅱ）當0≤x≤

π

2

時，求函數f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

AC

 和

BC

的坐標，由|

AC

|=|

BC

|，化簡可得sinθ=cosθ，再由θ的范圍求出θ的值．
（Ⅱ）根據x的范圍求得2x+θ的范圍，再由正弦函數的定義域和值域求出函數f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）

AC

=（cosθ-3，sinθ），

BC

=（cosθ，sinθ-3）． …（2分）
∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(cosθ-3)2+sin2θ

=

cos2θ+(sinθ-3)2

，
化簡得：sinθ=cosθ． …（5分）
∵

π

2

＜θ＜

3π

2

，∴θ=

π

2

． …（7分）
（Ⅱ）當0≤x≤

π

2

時，

5π

4

≤2x+θ≤

9π

4

，
∴-1≤sin(2x+θ)≤

2

2

，…（10分）
∴f（x）_max=

2

，f（x）_min=-2．…（12分）

點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域，三角函數的恒等變換及化簡求值，求向量的模，屬于基礎題．