Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點（n，）都在函數f（x）=x+的圖象上．
（1）計算a₁，a₂，a₃，并歸納出數列{a_n}的通項公式；
（2）將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁）…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）設A_n為數列的前n項積，若不等式A_n＜f（a）-對一切n∈N^*都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得，即．分別令n=1，n=2，n=3，代入可求a₁，a₂，a₃，進而猜想a_n
（2）由a_n=2n可得數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，故 b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數，所有第2個數、所有第3個數、所有第4個所有第4個數分別組成都是等差數列，公差均為20．故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80．代入可求
（3）因為，，若成立
設，則只需即可利用g（n）的單調性可求其最大值
，從而可求a的范圍
解答：解：（1）因為點在函數的圖象上，
故，所以．
令n=1，得，所以a₁=2；
令n=2，得，所以a₂=4；
令n=3，得，所以a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
（2）因為a_n=2n（n∈N^*），所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，故 b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20．同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20．故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80．注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，
所以 b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010
（3）因為，故，
所以．
又，
故對一切n∈N^*都成立，就是對一切n∈N^*都成立．
設，則只需即可．
由于=，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是單調遞減，于是．
令，即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對一切n∈N^*都成立的實數a的取值范圍是．
點評：本題綜合考查了利用函數的解析式求解數列的遞推公式進而求解數列的項，等差數列的求和公式的應用，及利用數列的單調性求解數列的最大（小）項問題的求解，屬于函數與數列知識的綜合應用的考查