Question

已知曲線C：y=x³-3x²，直線l：y=-2x
（1）求曲線C與直線l圍成的區域的面積；
（2）求曲線y=x³-3x²（0≤x≤1）與直線l圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積．

Answer 1

分析：（1）先求出曲線C：y=x³-3x²，直線l：y=-2x的交點坐標，確定出積分區間與被積函數，用積分求出曲線C與直線l圍成的區域的面積；
（2）曲線y=x³-3x²（0≤x≤1）與直線l圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積可由一個圓錐體的體積減去一個不規則幾何體的體體積，被積函數為π[（-2x）²-（x³-3x²）²]，求出積分即可得到所求的旋轉體的體積

解答：解：（1）聯立y=x³-3x²與y=-2x得：x=0，1或2．
∴曲線C與直線l有三個交點．
y'=3x²-6x令y′=0得：x=0或x=2
∵當x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，
y′＞0，當x∈（0，2）時，y'＜0，
∴曲線C大致形狀如圖所示．
∴S=∫

1 0

[x3-3x2-(-2x)]dx+∫

2 1

(-2x-x3+3x2)dx=

1

2

（2）由題意，旋轉體的體積V=∫

1 0

π[(-2x)2-(x3-3x2)2]d x=

41

105

π

點評：本題考查用定積分求簡單幾何體的體積，解著此類問題，關鍵是掌握積分的幾何意義及根據題設條件確定出被積函數與積分區間，熟練掌握求導的運算規則是正確求定積分的知識保證．