Question

如圖所示，中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，離心率為的雙曲線C經過點P （6，6），動直線l經過點（0，1）與雙曲線C交于M、N兩點，Q為線段MN的中點．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若E點為（1，0），是否存在實數λ使=λ，若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的離心率為知，，根據雙曲線C經過點P （6，6），知P點坐標滿足雙曲線方程，代入，又得到一個含a，b的等式，再根據a，b，c的關系式，可解出a，b，求出雙曲線C的標準方程．
（2）先假設存在實數λ使=λ，設出M，N，點的坐標，再用M，N點坐標表示Q點坐標，設直線l的方程，把直線l的方程代入（1）中所求雙曲線方程，求x₁+x₂，x₁x₂，根據=λ，可得關于k的方程，解方程，若能求出k值，則存在，若不能求出，則不存在．
解答：解：（1）設雙曲線為：（a＞0，b＞0），
由=得：b²=a²，∵．∴a²=9，b²=12．
∴所求方程為．
（2）設M（x₁，y₁ ），N（x₂，y₂ ），Q（x，y ），l：y=kx+1．
由得：（4-3k²）x²-6kx-39=0．∴得：
-＜k＜，且k≠．
又x₁+x₂=，x==，y=kx+1=
∴Q（，）．∴=（-1，），=（3，6）．
而，∴6（-1）-3×=0．∴k²+k-2=0，
∴k=1或-2．
而-2∉（-，），∴k=1，=（2，4），∴3λ=2，λ=，
∴λ存在，值為，使．
點評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及向量與圓錐曲線的綜合來解存在性問題．