Question

2003年10月15日9時,“神舟”五號載人飛船發射升空,于9時9分50秒準確進入預定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心F₂為一個焦點的橢圓.選取坐標系如圖所示,橢圓中心在原點.近地點A距地面200 km,遠地點B距地面350 km.已知地球半徑R=6 371 km.(如圖)

(1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程;

(2)飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時59分返回艙與推進艙分離,結束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約6×10⁵ km,問飛船巡天飛行的平均速度是多少?(結果精確到1 km/s)(注:km/s即千米/秒)

Answer 1

解：(1)設橢圓的方程為+=1.

    由題設條件得

    a-c=|OA|-|OF₂|=|F₂A|=6 371+200=6 571,

    a+c=|OB|+|OF₂|=|F₂B|=6 371+350=6 721.

    解得a=6 646,c=75,所以a²=44 169 316,

    b²=a²-c²=(a+c)(a-c)=6 721×6 571=44 163 691.

    ∴所求橢圓的方程為

    +=1.

    (注:由≈6 645.576 8得橢圓的方程為+=1,也是正確的)

    (2)從15日9時到16日6時共21個小時,即21×3 600 s,

    減去開始的9分50 s,即9×60+50=590(s),再減去最后多計的1分鐘,共減去590+60=650(s),得飛船巡天飛行的時間是21×3 600-650=74 950(s),

    平均速度是≈8(km/s).

    所以飛船巡天飛行的平均速度是8 km/s.