Question

已知函數(shù)。
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，證明當時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方.

Answer 1

（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間是。單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）參考解析.

解析試題分析：（Ⅰ）本小題含對數(shù)式的函數(shù)，首先確定定義域.通過求導就可知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.本題的易錯易漏點就是定義域的范圍.（Ⅱ）函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方等價于兩個函數(shù)的對減后的值恒大于零（設在上方的減去在下方的）.所以轉(zhuǎn)化成在x>1上的恒大于零的問題.通過構(gòu)造新的函數(shù)，對其求導，得到函數(shù)在x>1上為遞增函數(shù).又f(1)>0.所以函數(shù)恒大于零.即函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方成立.
試題解析：解：（Ⅰ）的定義域為，
又求得： 2分
令，則 3分
當變化時，的變化情況如下表：

		1
	-	0	+
	↘	極小值	↗

故的單調(diào)遞減區(qū)間是。單調(diào)遞增區(qū)間是 6分
（Ⅱ）令
則  8分

在上單調(diào)遞增 10分
又

∴當時，的圖象恒在圖象的上方. 12分
考點：1.含對數(shù)的函數(shù)的求導數(shù).2.應用函數(shù)的單調(diào)性解決一些問題.