Question

【題目】已知函數.

(1)討論函數的單調性；

(2)若函數存在兩個極值點且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出，分五種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）由(1)可知，，不等式化為，令，則，，利用導數研究函數的單調性，證明當時，不等式不成立，當時，可證明，適量題意，即.

試題解析：(1)定義域為，

，

當或時，恒成立，

當時，由得或，

于是結合函數定義域的分析可得：

當時，函數在定義域上是增函數；

當時，函數定義域為，此時有，

于是在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

當時，函數定義域為，

于是在上為減函數，在上為增函數，

當時，函數定義域為，此時有，

于是在上是增函數，在上是減函數，在上是減函數，在上是增函數，

當時，函數定義域為，

于是在上是增函數，在上是增函數.

(2)由(1)知存在兩個極值點時，的取值范圍是，

由(1)可知，，

；

不等式化為，

令，所以，

令，，

當時，，，，所以，不合題意；

當時，，，

所以在上是減函數，所以，適量題意，即.

綜上，若，此時正數的取值范圍是.