Question

（2013•重慶）從某居民區隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入x_i（單位：千元）與月儲蓄y_i（單位：千元）的數據資料，算得

10

i=1

xi=80，

10

i=1

yi=20，

10

i=1

xiyi=184，

10

i=1

x

2 i

=720．
（Ⅰ）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a；
（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；
（Ⅲ）若該居民區某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．
附：線性回歸方程y=bx+a中，b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

，其中

.

x

，

.

y

為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為

y

=

b

x+

a

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知n，

.

x

，

.

y

，進而可得

n

i=1

x

2 i

-n

.

x

2，

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

，代入可得b=值，進而可得a值，可得方程；
（Ⅱ）由回歸方程x的系數b的正負可判；
（Ⅲ）把x=7代入回歸方程求其函數值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知n=10，

.

x

=

1

n

n

i=1

xi=

80

10

=8，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi=

20

10

=2，
故

n

i=1

x

2 i

-n

.

x

2=720-10×8²=80，

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

=184-10×8×2=24，
故可得b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

=

24

80

=0.3，a=

.

y

-b

.

x

=2-0.3×8=-0.4，
故所求的回歸方程為：y=0.3x-0.4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即變量y隨x的增加而增加，故x與y之間是正相關；
（Ⅲ）把x=7代入回歸方程可預測該家庭的月儲蓄為y=0.3×7-0.4=1.7（千元）

點評：本題考查線性回歸方程的求解及應用，屬基礎題．