Question

已知函數，設，

．  

（1）猜測并直接寫出的表達式;此時若設，且關于的函數在區間上的最小值為，則求的值;

（2）設數列為等比數列，數列滿足，，若 ，，其中,則

①當時，求；

②設為數列的前項和，若對于任意的正整數，都有，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

①②

【解析】(I)先分別求出從而歸納出,所以.這樣可得到.

然后再討論二次函數的對稱軸與-1的大小關系即可.

（2）在（1）的基礎上，可得,所以數列的公比為,當m=1時，,所以,

所以,然后兩式作差整理可得，問題到此基本得以解決.

解：（1）∵，

∴  ．…1分

∴．………………2分

∴．

∴．…………4分

ⅰ）當，即時，函數在區間上是減函數，

∴當時，，即，該方程沒有整數解．…5分

ⅱ）當，即時，，解得，綜上所述，．…6分;

（2）①由已知，所以；，所以，解得； 所以數列的公比； ．．．．7分當時，， ,即  …①   ，………②，  

 ②－①得，，．．．．8分

 ．．．．．9分

②      ．．．．．10分

因為，所以由得，．．．．11分

注意到，當n為奇數時，； 

當為偶數時，，

所以最大值為，最小值為．．．．．13分

對于任意的正整數n都有，

所以，解得 ．．．14分