Question

如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直（圖1），圖2為該四棱錐的主視圖和側視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．
（1）根據圖2所給的主視圖、側視圖畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖所在的平面圖形的面積．
（2）圖3中，L、E均為棱PB上的點，且

BE

EP

=1，

BL

LP

=5，M、N分別為棱PA、PD的中點，問在底面正方形的對角線AC上是否存在一點F，使EF∥平面LMN．若存在，請具體求出CF的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三視圖推出俯視圖的形狀，求出面積即可．
（2）如圖，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CP為Z軸建立空間直角坐標系，利用

n • LM =0 n • NM =0

求出平面LMN的法向量

n

，然后證明
EF∥平面LMN，說明底面正方形的對角線AC上存在符合題意的點F，求出CF，即可．

解答：解：（1）該四棱錐相應的俯視圖為內含對角線、
邊長為6cm的正方形（如圖）（2分）

其面積為：6×6=36（cm²）（4分）
（注：圖正確，面積計算體現了圖形為正方形一樣給分）
（2）如圖，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，
CP為Z軸建立空間直角坐標系，
則D（6，0，0），A（6，6，0），B（0，6，0），
P（0，0，6），E（0，3，3），L（0，1，5），
M（3，3，3），N（3，0，3）（6分）
∴

LM

=(3，2，-2)，

NM

=(0，3，0)，

CA

=(6，6，0)（7分）
設平面LMN的法向量為

n

=（x，y，z）
由

n • LM =0 n • NM =0

得

3x+2y-2z=0 3y=0

令x=2則

n

=（2，0，3）（9分）
設

CF

=λ

CA

=(6λ，6λ，0)，（10分）
則

EF

=

EC

+

CF

=（0，-3，-3）+（6λ，6λ，0）=（6λ，6λ-3，-3）（11分）
由

EF

•

n

=0，得12λ-9=0，即λ=

3

4

（12分）
又EF?平面LMN，所以，EF∥平面LMN（13分）
即在底面正方形的對角線AC上存在符合題意的點F，
CF=

3

4

AC=

9 2

2

cm．（14分）

點評：本題是基礎題，考查幾何體的三視圖，準確判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，注意空間直角坐標系的應用，是中檔題，考查計算能力，邏輯思維能力．