Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC，證明AC⊥BD，證明PA⊥BD，PA∩AC=A，推出BD⊥平面PAC，然后證明平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依題意得說明ABD是邊長為

3

的正三角形，然后直接求解，四棱錐P-ABCD的體積V．

解答：解：（Ⅰ）連接AC，∵BC=CD，AB=AD，
∴AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD
∴PA⊥BD           
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC                       
又BD?平面BDP
∴平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依題意得∠CBD=∠CDB=30°，
又BC⊥AB，CD⊥AD，
所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a，
∴BD=

3

a
∴△ABD是邊長為

3

a的正三角形   
∴V=

1

3

(S△BCD+S△ABD)•PA=

1

3

(

1

2

•BC•CD•sin1200+

1

2

•AD•AB•sin600)•a
=

1

6

(

3

2

a2+

3

2

×3a2)•a=

3

3

a3

點評：本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的證明，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．