Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，.過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由！

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意列出關于a,b的關系式，解得a，b即可.

（2）將直線與橢圓聯立，將向量數量積的運算用坐標形式表示，利用根與系數之間的關系確定k的取值范圍．

（1）在中，令，得，解得.

由垂徑長（即過焦點且垂直于實軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，

得，

所以.①

因為直線：與橢圓相切，則.②

將②代入①，得.

故橢圓的標準方程為.

（2）設點，.

由（1）知，則直線的方程為.

聯立得，

則恒成立.

所以，，

.

因為，

所以.即.

即 ，

得，得，

即，

解得；

∴直線存在，且的取值范圍是.