Question

【題目】(2015·陜西）如圖，橢圓E:(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1)，且離心率為.

（1）求橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P,Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.

Answer 1

【答案】
（1）

.

（2）

證明略，詳見(jiàn)解析.

【解析】(I)由題意知=, b=1，
綜合a2=b2+c2 ， 解得a=，
所以，橢圓的方程為.
(II)由題設(shè)知，直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2)，代入，得
(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，
由已知△>0，，設(shè)P(x1, y1), Q(x2, y2), x1x2≠0，
x1+x2=, x1x2=，
從而直線AP與AQ的斜率之和
kAP+kAQ=+=+
化簡(jiǎn)得.kAP+kAQ=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-(2k-1)=2
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．